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PARA COMENZAR
LA TRIGONOMETRÍA ES UNA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUE ESTUDIA LAS RELACIONES DE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS EN LOS TRIÁNGULOS.
PARA ESTO SE VALE DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS, LAS CUALES SON UTILIZADAS FRECUENTEMENTE EN CÁLCULOS TÉCNICOS.
NOSOTROS VAMOS A TRABAJAR SOLAMENTE SOBRE TRIANGULOS RECTÁNGULOS.
SABEMOS QUE UN TRIANGULO ES UNA FIGURA GEOMETRICA QUE TIENE 3 LADOS Y 3 ANGULOS.
CUANDO UN TRIANGULO TIENE 1 DE SUS 3 ANGULOS RECTOS (90º) SE LLAMA TRIANGULO RECTANGULO.
ESE ES EL CASO DEL TRIANGULO DEL GRAFICO 1, EN ESTE TRIANGULO EL ANGULO RECTO ES EL ANGULO C (VEMOS QUE ESTA SEÑALIZADO CON DOS SEGMENTOS PERPENDICULARES).
COMO LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO TIENE QUE SER 180º Y YA TENEMOS UNO (EL ANGULO C) QUE MIDE 90º, CADA UNO DE LOS OTROS DOS ANGULOS (EL ANGULO A Y EL ANGULO B) TIENEN QUE SER MENORES QUE UN RECTO (90º), ES DECIR, SON ANGULOS AGUDOS.
SIGAMOS CON EL GRAFICO 1 PERO AHORA VAMOS A DARLE NOMBRES A LOS LADOS.
OBSERVEMOS QUE CADA ANGULO ESTA FORMADO POR 2 LADOS DEL TRIANGULO.
SIEMPRE, LOS LADOS DEL TRIANGULO QUE FORMAN EL ANGULO RECTO SE LLAMAN CATETOS.
COMO SABEMOS QUE EL TRIANGULO ESTA FORMADO POR 3 LADOS, NOS FALTARIA UN LADO PARA NOMBRAR, ESE TERCER LADO SE LLAMA HIPOTENUSA.
EL TRIANGULO DE NUESTRO GRAFICO, ENTONCES, QUEDARIA COMO EL GRAFICO 2:
OBSERVEMOS QUE CADA ANGULO AGUDO (EL ANGULO A Y EL ANGULO B) ESTAN FORMADOS (CADA UNO) POR UN CATETO Y LA HIPOTENUSA. ESE CATETO QUE FORMA AL ANGULO JUNTO A LA HIPOTENUSA SE LLAMA CATETO ADYACENTE,
EL CATETO RESTANTE ES EL CATETO OPUESTO.
EXISTEN UNAS FUNCIONES QUE RELACIONAN LADOS Y ANGULOS DE UNA FIGURA GEOMETRICA (DECIMOS FUNCION PORQUE TENEMOS POR LO MENOS UNA VARIABLE INDEPENDIENTE), DE ESAS FUNCIONES APLICADAS A LOS ANGULOS AGUDOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO VAMOS A UTILIZAR TRES: SENO, COSENO Y TANGENTE.
(EN NUESTRO TRIANGULO LA VARIABLE INDEPENDIENTE SERA EL VALOR DEL ANGULO).
EN UN TRIANGULO RECTANGULO LAS FUNCIONES QUE MENCIONAMOS (FUNCIONES TRIGONOMETRICAS) SON LAS SIGUIENTES:
SENO DE UN ANGULO: CATETO OPUESTO / HIPOTENUSA
COSENO DE UN ANGULO: CATETO ADYACENTE / HIPOTENUSA
TANGENTE DE UN ANGULO: CATETO OPUESTO / CATETO ADYACENTE
EN ADELANTE SIMPLIFICAREMOS LAS DISTINTAS DENOMINACIONES DE LA SIGUIENTE MANERA:
CATETO OPUESTO = CO
CATETO ADYACENTE = CA
HIPOTENUSA = H
SENO = SEN o SIN
COSENO = COS
TANGENTE = TAN
VEAMOS COMO PODEMOS UTILIZAR ESTAS FUNCIONES.
VAMOS A PONERLE ALGUNOS VALORES A NUESTRO TRIANGULO:
TENEMOS EL VALOR DEL ANGULO B QUE ES 35º Y EL VALOR DE UNO DE LOS CATETOS QUE ES 25 M.
CON UNA CALCULADORA CIENTIFICA O CON UNA TABLA OBTENEMOS EL VALOR DEL SENO, DEL COSENO Y LA TANGENTE DEL ANGULO DE 35º (ESTOS VALORES SIEMPRE SERAN DATOS EN NUESTRAS EVALUACIONES).
SIN 35º = 0.574
COS 35º = 0.819
TAN 35º = 0.700
OBSERVEMOS QUE EL CATETO QUE MIDE 25 M. ES EL CATETO QUE FORMA AL ANGULO DE 35º JUNTO CON LA HIPOTENUSA, ENTONCES PODEMOS DEDUCIR QUE SE TRATA DEL CATETO ADYACENTE DE ESE ANGULO.
SUPONGAMOS QUE NECESITO SABER CUANTO MIDE EL OTRO CATETO Y OBTENER ESE VALOR CON LOS DATOS QUE TENGO.
LOS DATOS QUE TENGO HASTA AHORA SON EL VALOR DE UN ANGULO (35º), EL VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ESE ANGULO Y EL VALOR DE UNO DE LOS CATETOS (CON RESPECTO A ESE ANGULO EL CATETO ADYACENTE).
COMO NECESITO OBTENER EL VALOR DEL CATETO QUE ME FALTA Y YA TENGO EL VALOR DEL OTRO CATETO, ME FIJO EN CUAL DE LAS 3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS UTILIZADAS APARECEN LOS 2 CATETOS.
LOS 2 CATETOS APARECEN EN LA TANGENTE:
TAN = CO / CA
COMO HABIA DEDUCIDO QUE EL CATETO QUE MEDIA 25 M. ERA EL CATETO ADYACENTE, EL OTRO CATETO SE QUE ES EL CATETO OPUESTO.
REEMPLAZO LA FORMULA CON LOS VALORES QUE TENGO (EL CATETO DE 25M. Y EL VALOR DE LA TANGENTE DEL ANGULO DE 35º).
0.700 = CO / 25 M
COMO TENGO QUE ENCONTRAR EL VALOR DEL CO TENGO QUE DESPEJARLO (DEJARLO SOLO), PARA ESO DEBO PASAR LOS 25 M. AL OTRO LADO DE LA IGUALDAD.
ME FIJO QUE OPERACIÓN ESTA REALIZANDO Y OBSERVO QUE ESTA DIVIDIENDO, COMO SE QUE CUANDO PASO UN TERMINO DE UN LADO A OTRO DE LA IGUALDAD PASA CON LA OPERACIÓN OPUESTA Y LOS 25 M. ESTAN DIVIDIENDO, ENTONCES, PASARAN MULTIPLICANDO. POR LO TANTO:
0.700 x 25 M = CO
HAGO LA OPERACIÓN Y OBTENGO:
17.5 M. = CO
POR LO TANTO, EL CATETO QUE ESTABA CALCULANDO MEDIRA 17.5 M.
(Ver grafico 4).
AHORA QUIERO CALCULAR EL VALOR DE LA HIPOTENUSA UTILIZANDO EL CATETO QUE MIDE 25 M (CATETO ADYACENTE).
ME FIJO QUE FUNCION ME REUNE EL CATETO ADYACENTE CON LA HIPOTENUSA.
LA FUNCION ES EL COSENO.
HAGAMOS LOS CALCULOS SIN DETALLAR LA EXPLICACION:
COS = CA / H
0.819 = 25 M / H
0.819 x H = 25 M
H = 25 M / 0.819
H = 30.52 M.
Ver grafico 5
PARA ESTO SE VALE DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS, LAS CUALES SON UTILIZADAS FRECUENTEMENTE EN CÁLCULOS TÉCNICOS.
NOSOTROS VAMOS A TRABAJAR SOLAMENTE SOBRE TRIANGULOS RECTÁNGULOS.
SABEMOS QUE UN TRIANGULO ES UNA FIGURA GEOMETRICA QUE TIENE 3 LADOS Y 3 ANGULOS.
CUANDO UN TRIANGULO TIENE 1 DE SUS 3 ANGULOS RECTOS (90º) SE LLAMA TRIANGULO RECTANGULO.
ESE ES EL CASO DEL TRIANGULO DEL GRAFICO 1, EN ESTE TRIANGULO EL ANGULO RECTO ES EL ANGULO C (VEMOS QUE ESTA SEÑALIZADO CON DOS SEGMENTOS PERPENDICULARES).
COMO LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO TIENE QUE SER 180º Y YA TENEMOS UNO (EL ANGULO C) QUE MIDE 90º, CADA UNO DE LOS OTROS DOS ANGULOS (EL ANGULO A Y EL ANGULO B) TIENEN QUE SER MENORES QUE UN RECTO (90º), ES DECIR, SON ANGULOS AGUDOS.
SIGAMOS CON EL GRAFICO 1 PERO AHORA VAMOS A DARLE NOMBRES A LOS LADOS.
OBSERVEMOS QUE CADA ANGULO ESTA FORMADO POR 2 LADOS DEL TRIANGULO.
SIEMPRE, LOS LADOS DEL TRIANGULO QUE FORMAN EL ANGULO RECTO SE LLAMAN CATETOS.
COMO SABEMOS QUE EL TRIANGULO ESTA FORMADO POR 3 LADOS, NOS FALTARIA UN LADO PARA NOMBRAR, ESE TERCER LADO SE LLAMA HIPOTENUSA.
EL TRIANGULO DE NUESTRO GRAFICO, ENTONCES, QUEDARIA COMO EL GRAFICO 2:
OBSERVEMOS QUE CADA ANGULO AGUDO (EL ANGULO A Y EL ANGULO B) ESTAN FORMADOS (CADA UNO) POR UN CATETO Y LA HIPOTENUSA. ESE CATETO QUE FORMA AL ANGULO JUNTO A LA HIPOTENUSA SE LLAMA CATETO ADYACENTE,
EL CATETO RESTANTE ES EL CATETO OPUESTO.
EXISTEN UNAS FUNCIONES QUE RELACIONAN LADOS Y ANGULOS DE UNA FIGURA GEOMETRICA (DECIMOS FUNCION PORQUE TENEMOS POR LO MENOS UNA VARIABLE INDEPENDIENTE), DE ESAS FUNCIONES APLICADAS A LOS ANGULOS AGUDOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO VAMOS A UTILIZAR TRES: SENO, COSENO Y TANGENTE.
(EN NUESTRO TRIANGULO LA VARIABLE INDEPENDIENTE SERA EL VALOR DEL ANGULO).
EN UN TRIANGULO RECTANGULO LAS FUNCIONES QUE MENCIONAMOS (FUNCIONES TRIGONOMETRICAS) SON LAS SIGUIENTES:
SENO DE UN ANGULO: CATETO OPUESTO / HIPOTENUSA
COSENO DE UN ANGULO: CATETO ADYACENTE / HIPOTENUSA
TANGENTE DE UN ANGULO: CATETO OPUESTO / CATETO ADYACENTE
EN ADELANTE SIMPLIFICAREMOS LAS DISTINTAS DENOMINACIONES DE LA SIGUIENTE MANERA:
CATETO OPUESTO = CO
CATETO ADYACENTE = CA
HIPOTENUSA = H
SENO = SEN o SIN
COSENO = COS
TANGENTE = TAN
VEAMOS COMO PODEMOS UTILIZAR ESTAS FUNCIONES.
VAMOS A PONERLE ALGUNOS VALORES A NUESTRO TRIANGULO:
TENEMOS EL VALOR DEL ANGULO B QUE ES 35º Y EL VALOR DE UNO DE LOS CATETOS QUE ES 25 M.
CON UNA CALCULADORA CIENTIFICA O CON UNA TABLA OBTENEMOS EL VALOR DEL SENO, DEL COSENO Y LA TANGENTE DEL ANGULO DE 35º (ESTOS VALORES SIEMPRE SERAN DATOS EN NUESTRAS EVALUACIONES).
SIN 35º = 0.574
COS 35º = 0.819
TAN 35º = 0.700
OBSERVEMOS QUE EL CATETO QUE MIDE 25 M. ES EL CATETO QUE FORMA AL ANGULO DE 35º JUNTO CON LA HIPOTENUSA, ENTONCES PODEMOS DEDUCIR QUE SE TRATA DEL CATETO ADYACENTE DE ESE ANGULO.
SUPONGAMOS QUE NECESITO SABER CUANTO MIDE EL OTRO CATETO Y OBTENER ESE VALOR CON LOS DATOS QUE TENGO.
LOS DATOS QUE TENGO HASTA AHORA SON EL VALOR DE UN ANGULO (35º), EL VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ESE ANGULO Y EL VALOR DE UNO DE LOS CATETOS (CON RESPECTO A ESE ANGULO EL CATETO ADYACENTE).
COMO NECESITO OBTENER EL VALOR DEL CATETO QUE ME FALTA Y YA TENGO EL VALOR DEL OTRO CATETO, ME FIJO EN CUAL DE LAS 3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS UTILIZADAS APARECEN LOS 2 CATETOS.
LOS 2 CATETOS APARECEN EN LA TANGENTE:
TAN = CO / CA
COMO HABIA DEDUCIDO QUE EL CATETO QUE MEDIA 25 M. ERA EL CATETO ADYACENTE, EL OTRO CATETO SE QUE ES EL CATETO OPUESTO.
REEMPLAZO LA FORMULA CON LOS VALORES QUE TENGO (EL CATETO DE 25M. Y EL VALOR DE LA TANGENTE DEL ANGULO DE 35º).
0.700 = CO / 25 M
COMO TENGO QUE ENCONTRAR EL VALOR DEL CO TENGO QUE DESPEJARLO (DEJARLO SOLO), PARA ESO DEBO PASAR LOS 25 M. AL OTRO LADO DE LA IGUALDAD.
ME FIJO QUE OPERACIÓN ESTA REALIZANDO Y OBSERVO QUE ESTA DIVIDIENDO, COMO SE QUE CUANDO PASO UN TERMINO DE UN LADO A OTRO DE LA IGUALDAD PASA CON LA OPERACIÓN OPUESTA Y LOS 25 M. ESTAN DIVIDIENDO, ENTONCES, PASARAN MULTIPLICANDO. POR LO TANTO:
0.700 x 25 M = CO
HAGO LA OPERACIÓN Y OBTENGO:
17.5 M. = CO
POR LO TANTO, EL CATETO QUE ESTABA CALCULANDO MEDIRA 17.5 M.
(Ver grafico 4).
AHORA QUIERO CALCULAR EL VALOR DE LA HIPOTENUSA UTILIZANDO EL CATETO QUE MIDE 25 M (CATETO ADYACENTE).
ME FIJO QUE FUNCION ME REUNE EL CATETO ADYACENTE CON LA HIPOTENUSA.
LA FUNCION ES EL COSENO.
HAGAMOS LOS CALCULOS SIN DETALLAR LA EXPLICACION:
COS = CA / H
0.819 = 25 M / H
0.819 x H = 25 M
H = 25 M / 0.819
H = 30.52 M.
Ver grafico 5
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